设F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,32)到F1,F2两点的距离之和等于4.(1)写出椭圆C的
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设F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,32)到F1,F2两点的距离之和等于4.(1)写出椭圆C的
题型:不详
难度:
来源:
设F
1
,F
2
分别为椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,
3
2
)到F
1
,F
2
两点的距离之和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过点P(1,
1
4
)的直线与椭圆交于两点D、E,若DP=PE,求直线DE的方程;
(3)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,若△OMN面积取得最大,求直线MN的方程.
答案
(1)椭圆C的焦点在x轴上,
由椭圆上的点A到F
1
、F
2
两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2,
又点A(1,
3
2
) 在椭圆上,因此
1
2
2
+
3
4
b
2
=1
,得b
2
=1,于是c
2
=3,
所以椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
=1,
F
1
(-
3
,0),
F
2
(
3
,0)
,…(4分)
(2)显然直线DE斜率存在,设为k,方程为
y-
1
4
=k(x-1)
,设D(x
1
′,y
1
′),E(x
2
′,y
2
′),则
由
x
2
4
+
y
2
=1
y-
1
4
=k(x-1)
,消去y可得
(1+4
k
2
)
x
2
+(2k-8
k
2
)x+4
k
2
-2k-
15
4
=0
∴
x
1
′+
x
2
′
2
=
4
k
2
-k
1+4
k
2
=1
,∴k=-1
∴DE方程为y-1=-1(x-
1
4
),即4x+4y=5;…(9分)
(3)直线MN不与y轴垂直,设MN方程为my=x-1,代入椭圆C的方程得(m
2
+4)y
2
+2my-3=0,
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则y
1
+y
2
=-
2m
m
2
+4
,y
1
y
2
=-
3
m
2
+4
,且△>0成立.
又S
△OMN
=
1
2
|y
1
-y
2
|=
1
2
×
4
m
2
+12(
m
2
+4)
m
2
+4
=
2
m
2
+3
m
2
+4
,
设t=
m
2
+3
≥
3
,则S
△OMN
=
2
t+
1
t
,
(t+
1
t
)′=1-t
-2
>0对t≥
3
恒成立,∴t=
3
时,t+
1
t
取得最小,S
△OMN
最大,此时m=0,
∴MN方程为x=1;…(14分)
举一反三
圆锥曲线C的离心率为e,且经过点M(3,0),求e分别取
2
2
3
、
2
时曲线C的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率e=
3
2
,原点到过点A(a,0),B(0,b)的直线的距离是
4
5
5
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上一动点P(x
0
,y
0
)关于直线y=2x的对称点为P
1
(x
1
,y
1
),求x
1
2
+y
1
2
的取值范围.
(3)如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E,F,且E,F都在以B为圆心的圆上,求k的值.
题型:东城区二模
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的焦距是2,离心率是0.5
(1)求椭圆的方程.
(2)经过A(1,2),倾斜角为45
0
的直线l与椭圆C相交于M、N两点,求MN的长.
题型:不详
难度:
|
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以椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆的方程是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知中心在原点,焦点在X轴上的椭圆C的离心率为
e=
2
2
,点M是椭圆上的一点,且点M到椭圆C两焦点的距离之和为4
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(1,-1),倾斜角为45°的直线l与上述椭圆C交于两点A、B,求|PA|•|PB|
题型:不详
难度:
|
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