已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求m的取值范围;(

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求m的取值范围;(

题型:河南模拟难度:来源:
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为


3
2
,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)若直线l不过点M,试问kMA+kMB是否为定值?并说明理由.
答案
(Ⅰ)∵
c
a
=


3
2
,∴
b
a
=
1
2
,-----------------------------------------------------(2分)
依题意设椭圆方程为:
x2
4b2
+
y2
b2
=1

把点(4,1)代入,得b2=5
∴椭圆方程为
x2
20
+
y2
5
=1
---------------------------------------------------(4分)
(Ⅱ)把y=x+m代入椭圆方程得:5x2+8mx+4m2-20=0,
由△>0可得64m2-20(4m2-20)>0
∴-5<m<5---------------------------------------------------(6分)
(Ⅲ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-
8m
5
,x1x2=
4m2-20
5
,-----------------------(8分)
∴kMA+kMB=
y1-1
x1-4
+
y2-1
x2-4
=
2x1x2-(m-5)(x1+x2)-8(m-1)
(x1-4)(x2-4)
=0,
∴kMA+kMB为定值0.------------------(12分)
举一反三
设椭圆E:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的上焦点是F1,过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A、B两点,已知A(
1
3
4
3
).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点,求C点的坐标.
题型:烟台二模难度:| 查看答案
根据下列条件求椭圆或双曲线的标准方程.
(Ⅰ)已知椭圆的长轴长为6,一个焦点为(2,0),求该椭圆的标准方程.
(Ⅱ)已知双曲线过点P(


5
1
2
)
,渐近线方程为x±2y=0,且焦点在x轴上,求该双曲线的标准方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为B(0,4),离心率e=
3
5

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若O(0,0)、P(2,2),试探究在椭圆C内部是否存在整点Q(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得△OPQ的面积S△OPQ=4?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的焦点在x轴上,中心在原点,离心率e=


3
3
,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆C的短半轴为半径的圆O相切.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,点M是椭圆上异于Al,A2的任意一点,设直线MA1,MA2的斜率分别为kMA1kMA2,证明kMA1kMA2为定值.
题型:香洲区模拟难度:| 查看答案
已知椭圆的焦点F1(0,-1),F2(0,1),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆的方程为(  )
题型:不详难度:| 查看答案
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