已知离心率为22的椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4.(1)求椭圆E的方程;(2)若某圆的圆心为坐标原点O,该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两

已知离心率为22的椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4.(1)求椭圆E的方程;(2)若某圆的圆心为坐标原点O,该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两

题型:不详难度:来源:
已知离心率为


2
2
的椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦距为4.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若某圆的圆心为坐标原点O,该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且


OA


OB
,求该圆的方程,并求|AB|的最大值.
答案
(1)由题意,2c=4,
c
a
=


2
2
,∴c=2,a=2


2

∴b2=a2-c2=4,∴椭圆E的方程为
x2
8
+
y2
4
=1;
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且


OA


OB

设该圆的切线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).





y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,则△=8(8k2-m2+4)>0,∴8k2-m2+4>0
x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1x2=
2m2-8
1+2k2

∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
m2-8k2
1+2k2

要使


OA


OB
,只需x1x2+y1y2=0,即
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0
,所以3m2-8k2-8=0,
所以k2=
3m2-8
8
≥0
又8k2-m2+4>0,所以





m2>2
3m2≥8
,所以m2
8
3
,即m≥
2


6
3
m≤-
2


6
3

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r2=
m2
1+k2
=
8
3

所以所求的圆为x2+y2=
8
3
,此时圆的切线y=kx+m都满足m≥
2


6
3
m≤-
2


6
3

当切线的斜率不存在时切线为x=±
2


6
3
与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1的两个交点为(
2


6
3
,±
2


6
3
)或(-
2


6
3
,±
2


6
3
)满足


OA


OB

综上,存在圆心在原点的圆x2+y2=
8
3
,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且


OA


OB

因为x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1x2=
2m2-8
1+2k2

所以|AB|=


1+k2
|x1-x2|=


32
3
(1+
k2
4k4+4k2+1
)

当k≠0时,|AB|=


32
3
(1+
1
4k2+
1
k2
+4

因为4k2+
1
k2
+4
≥8,所以0<
1
4k2+
1
k2
+4
1
8
,所以|AB|≤2


3

当k=0时,或斜率不存在时,计算得|AB|=
4


6
3

综上可得|AB|max=2


3
举一反三
求下列双曲线的标准方程.
(1)与椭圆
x2
16
+
y2
25
=1
共焦点,且过点(1,
5
2
)
的双曲线;
(2)与双曲线
x2
16
-
y2
4
=1
有相同渐近线,且过点(2


2
,1)
的双曲线.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点M(1,
3
2
)
在椭圆C上,抛物线E以椭圆C的中心为顶点,F2为焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l过点F2,且交y轴于D点,交抛物线E于A,B两点.
①若F1B⊥F2B,求|AF2|-|BF2|的值;
②试探究:线段AB与F2D的长度能否相等?如果|AB|=|F2D|,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆M的中心在原点,离心率为
1
2
,左焦点是F1(-2,0).
(1)求椭圆的方程;
(2)设P是椭圆M上的一点,且点P与椭圆M的两个焦点F1、F2构成一个直角三角形,若PF1>PF2,求
PF1
PF2
的值.
题型:不详难度:| 查看答案
P为直线x-y+3=0上任一点,一椭圆的两焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),则椭圆过P点且长轴最短时的方程为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
3
,点P (
3


5
5
,-2)
在此椭圆上,经过椭圆的左焦点F,斜率为K的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)当K=1时,求S△AOB的值.
题型:不详难度:| 查看答案
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