(Ⅰ)由题设可知:,∴a=2,c=…2分 ∴b2=a2-c2=2…3分 ∴椭圆的标准方程为:+=1…4分 (Ⅱ)设P(xP,yP),M(x1,y1),N(x2,y2),由=+2可得:①…5分 由直线OM与ON的斜率之积为-可得:=-,即x1x2+2y1y2=0②…6分 由①②可得:xP2+2yP2=(x12+2y12)+(x22+2y22) ∵M、N是椭圆上的点,∴x12+2y12=4,x22+2y22=4 ∴xP2+2yP2=8,即+=1…..8分 由椭圆定义可知存在两个定点F1(-2,0),F2(2,0),使得动点P到两定点距离和为定值4;….9分; (Ⅲ)证明:设M(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,y1>0,x2>0,y2>0,x1≠x2,A(x1,0),N(-x1,-y1)…..10分 由题设可知lAB斜率存在且满足kNA=kNB,∴=….③ kMN•kMB+1=•+1④…12分 将③代入④可得:kMN•kMB+1=•+1=⑤….13分 ∵点M,B在椭圆+=1上,∴kMN•kMB+1==0 ∴kMN•kMB+1=0 ∴kMN•kMB=-1 ∴MN⊥MB…14分. |