已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,短轴长为23(1)求椭圆C的方程;(2)设G,H为椭圆C上的两个动点,O为坐标原点,且OG⊥O
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,短轴长为23(1)求椭圆C的方程;(2)设G,H为椭圆C上的两个动点,O为坐标原点,且OG⊥O
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率e=
6
3
,短轴长为2
3
(1)求椭圆C的方程;
(2)设G,H为椭圆C上的两个动点,O为坐标原点,且OG⊥OH.是否存在以原点O为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线GH相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)因为
c
a
=
6
3
,2b=2
3
,a
2
=b
2
+c
2
,
解得a=3,b=
3
,所以椭圆方程为
x
2
9
+
y
2
3
=1
.
(2)假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为R,则OG•OH=R•GH
因为OG
2
+OH
2
=GH
2
,故
1
O
G
2
+
1
O
H
2
=
1
R
2
,
当OG与OH的斜率均存在时,不妨设直线OG方程为:y=kx,
由
y=kx
x
2
9
+
y
2
3
=1
,得
x
G
2
=
9
1+3
k
2
y
G
2
=
9
k
2
1+3
k
2
,所以
O
G
2
=
9+9
k
2
1+3
k
2
,
同理可得
O
H
2
=
9
k
2
+9
3+
k
2
(将OG
2
中的K换成
-
1
K
可得)
1
O
G
2
+
1
O
H
2
=
4
9
=
1
R
2
,R=
3
2
,
当OG与OH的斜率有一个不存在时,可得
1
O
G
2
+
1
O
H
2
=
4
9
=
1
R
2
,
故满足条件的定圆方程为:
x
2
+
y
2
=
9
4
.
举一反三
已知双曲线C的方程为x
2
-15y
2
=15.
(1)求其渐近线方程;
(2)求与双曲线C焦点相同,且过点(0,3)的椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程是( )
A.
或
B.
或
C.
或
D.椭圆的方程无法确定
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为B(0,-1),且其右焦点到直线
x-y+2
2
=0
的距离为3.
(1)求椭圆方程;
(2)设直线l过定点
Q(0,
3
2
)
,与椭圆交于两个不同的点M、N,且满足|BM|=|BN|.求直线l的方程.
题型:惠州一模
难度:
|
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在直线L:x-y+9=0上任取一点p以椭圆
x
2
12
+
y
2
3
=1的焦点为焦点作椭圆.
(1)p在何处时,所求椭圆的长轴最短;
(2)求长轴最短的椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线
y
2
=4
x,
的焦点重合,则椭圆的方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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