已知椭圆Ω的离心率为12,它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合.(1)求椭圆Ω的方程;(2)若椭圆x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)上过
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已知椭圆Ω的离心率为12,它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合.(1)求椭圆Ω的方程;(2)若椭圆x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)上过
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆Ω的离心率为
1
2
,它的一个焦点和抛物线y
2
=-4x的焦点重合.
(1)求椭圆Ω的方程;
(2)若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
上过点(x
0
,y
0
)的切线方程为
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1
.
①过直线l:x=4上点M引椭圆Ω的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点C;
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|,若存在,求出A的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)设椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),
抛物线y
2
=-4x的焦点是(-1,0),故c=1,
又∵
c
a
=
1
2
,∴a=2,b=
a
2
-
c
2
=
3
,
∴所求的椭圆Ω的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(2)①证明:设切点坐标为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),直线l上一点M的坐标(4,t),
则切线方程分别为
x
1
x
4
+
y
1
y
3
=1
,
x
2
x
4
+
y
2
y
3
=1
,
∵两切线均过M,即
x
1
+
t
3
y
1
=1
,
x
2
+
t
3
y
2
=1
,
即点A,B的坐标都适合方程x+
t
3
y=1
而两点之间确定的唯一的一条直线,
∴直线AB的方程是x+
t
3
=1,
对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,
故直线恒过定点C(1,0).
②将直线AB的方程x+
t
3
y=1与椭圆方程联立,可得(
t
2
3
+4
)y
2
-2ty-9=0
∴
y
1
+
y
2
=
6t
t
2
+12
,
y
1
y
2
=
-27
t
2
+12
不妨设y
1
>0,y
2
<0,则|AC|=
(
x
1
-1
)
2
+
y
1
2
=
t
2
+9
3
y
1
同理|BC|=-
t
2
+9
3
y
2
∴
1
|AC|
+
1
|BC|
=
1
t
2
+9
•
144
t
2
+9×144
9
=
4
3
即|AC|+|BC|=
4
3
•|AC|•|BC|,
故存在
λ=
4
3
,使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|.
举一反三
已知抛物线y
2
=2px经过点M(2,-
2
2
),椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1的右焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为
1
2
.
(1)求抛物线与椭圆的方程;
(2)若P为椭圆上一个动点,Q为过点P且垂直于x轴的直线上一点,
|OP|
|OQ|
=λ(λ≠0),试求点Q的轨迹.
题型:不详
难度:
|
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已知点A、B分别是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)长轴的左、右端点,点C是椭圆短轴的一个端点,且离心率e=
6
3
,S
△ABC
=
3
(1)求椭圆方程;
(2)设直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆相交于P、Q两点,求线段PQ的中点到原点的距离等于
1
2
|PQ|
时的直线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),直线y=
x+
6
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切,F
1
、F
2
为其左、右焦点,P为椭圆C上任一点,△F
1
PF
2
的重心为G,内心为I,且IG
∥
F
1
F
2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点A、B,且线段AB的垂直平分线l′过定点Q(
1
6
,0),求实数k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的右焦点F与抛物线y
2
=4x的焦点重合,短轴长为2.椭圆的右准线l与x轴交于E,过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,BC
∥
x轴.
(1)求椭圆的标准方程,并指出其离心率;
(2)求证:线段EF被直线AC平分.
题型:不详
难度:
|
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已知方程
表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A.m>2或m<-1
B.m>-2
C.-1<m<2
D.m>2或-2<m<-1
题型:徐汇区模拟
难度:
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