已知直线l：y=x+6，圆O：x2+y2=5，椭圆E：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=33，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．（Ⅰ）求椭

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已知直线l：y=x+6，圆O：x2+y2=5，椭圆E：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=33，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．（Ⅰ）求椭

题型：菏泽一模难度：来源：
已知直线l：y=x+


6
，圆O：x2+y2=5，椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=


3
3
，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．
答案
（Ⅰ）设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d=


6


2
=


3
，
∴直线l被圆O截得的弦长为2


(


5
)2-(


3
)2
=2


5-3
=2


2
，
由2b=2


2
，解得b=


2
，
∵椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=


3
3
，
∴
c
a
=


3
3

∴
a2-2
a2
=
1
3
，解得a2=3
∴椭圆E的方程为
y2
3
+
x2
2
=1；
（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k（x-x0）
与椭圆方程联立，消去y可得（3+2k2）x2+4k（y0-kx0）x+2（kx0-y0）2-6=0
∴△=[4k（y0-kx0）]2-4（3+2k2）[2（kx0-y0）2-6]=0
∴（2-x02）k2+2kx0y0-（y02-3）=0
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k1，k2，
∴k1k2=-
y02-3
2-x02

∵P在圆O上，∴x02+y02=5，
∴k1k2=-
y02-3
2-x02
=-1
∴两切线斜率之积为定值-1．
举一反三
椭圆的两焦点坐标分别为F1(-


3
，0)和F2(


3
，0)，且椭圆过点(1，-


3
2
)．
（1）求椭圆方程；
（2）过点(-
6
5
，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
题型：自贡三模难度：| 查看答案
已知椭圆Ω的离心率为
1
2
，它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）若椭圆
x2    
a2
+
 y2   
b2
=1(a＞b＞0)上过点（x0，y0）的切线方程为
 x0x   
a2
+
y0y    
b2
=1．
①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C；
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，说明理由．
题型：不详难度：| 查看答案
已知抛物线y2=2px经过点M（2，-2


2
），椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为
1
2
．
（1）求抛物线与椭圆的方程；
（2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上一点，
|OP|
|OQ|
=λ（λ≠0），试求点Q的轨迹．
题型：不详难度：| 查看答案
已知点A、B分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=


6
3
，S△ABC=


3

（1）求椭圆方程；
（2）设直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于P、Q两点，求线段PQ的中点到原点的距离等于
1
2
|PQ|时的直线方程．
题型：不详难度：| 查看答案
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直线y=x+


6
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l′过定点Q（
1
6
，0），求实数k的取值范围．
题型：不详难度：| 查看答案
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