已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为22，左焦点为F（-1，0）的椭圆C上，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，PF•MF=0．（1）求椭圆C的方

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已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为22，左焦点为F（-1，0）的椭圆C上，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，PF•MF=0．（1）求椭圆C的方

题型：不详难度：来源：
已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为


2
2
，左焦点为F（-1，0）的椭圆C上，已知


PF
与


FQ
共线，


MF
与


FN
共线，


PF
•


MF
=0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试用直线PQ的斜率k（k≠0）表示四边形PMQN的面积S，求S的最小值．
答案
（1）设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），则a2=b2+c2
∵c=1，
c
a
=


2
2

∴a=


2
，b=1
∴椭圆的方程为
x2
2
+y2=1；
（2）由题意，PQ与MN垂直于F，设PQ的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，可得
（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-
4k2
1+2k2
，x1x2=
2k2-2
1+2k2

∴|PQ|=


1+k2
|x1-x2|=
2


2
(1+k2)
1+2k2

同理，|MN|=
2


2
(1+k2)
2+k2

∴SPMQN=
1
2
|PQ||MN|=2-
2k2
2k4+5k2+2
=2-
2
2k2+
2
k2
+5
≥
16
9

当且仅当k=±1时，取等号
∴四边形PMQN的面积的最小值为
16
9
．
举一反三
已知点M在椭圆D：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点，若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为
2


6
3
的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆D上的一点，过点P的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点Q，若


QP
=2


PF
，求直线l的斜率；
（Ⅲ）过点G（0，-2）作直线GK与椭圆N：
3x2
a2
+
4y2
b2
=1左半部分交于H，K两点，又过椭圆N的右焦点F1做平行于HK的直线交椭圆N于R，S两点，试判断满足|GH|•|GK|=3|RF1|•|F1S|的直线GK是否存在？请说明理由．
题型：不详难度：| 查看答案
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）以双曲线
x2
3
-y2=1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA，MB与直线x=4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．
题型：不详难度：| 查看答案
已知直线l：y=x+


6
，圆O：x2+y2=5，椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=


3
3
，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．
题型：菏泽一模难度：| 查看答案
椭圆的两焦点坐标分别为F1(-


3
，0)和F2(


3
，0)，且椭圆过点(1，-


3
2
)．
（1）求椭圆方程；
（2）过点(-
6
5
，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
题型：自贡三模难度：| 查看答案
已知椭圆Ω的离心率为
1
2
，它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）若椭圆
x2    
a2
+
 y2   
b2
=1(a＞b＞0)上过点（x0，y0）的切线方程为
 x0x   
a2
+
y0y    
b2
=1．
①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C；
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，说明理由．
题型：不详难度：| 查看答案
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