设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M(2，1)，且左焦点为F1(-2，0)（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与

题型：安徽难度：来源：

设椭圆C：

=1（a＞b＞0）过点M(

，1)，且左焦点为F1(-

，0)
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

|•|

|=|

|•|

|，证明：点Q总在某定直线上．

答案

（Ⅰ）由题意得

c2=2

c2=a2-b2

，
解得a²=4，b²=2，
所以椭圆C的方程为

=1．

（Ⅱ）设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题设知|

|，|

|均不为零，记λ=

，则λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四点共线，从而

=-λ

，

=λ

于是4=

x1-λx2

1-λ

，1=

y1-λy2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

从而

-λ2

1-λ2

=4x①，

-λ2

1-λ2

=y②，
又点A、B在椭圆C上，即x₁²+2y₁²=4 ③，x₂²+2y₂²=4 ④，
①+②×2并结合③、④得4x+2y=4，
即点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．

举一反三

已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在坐标原点O，C₁和C₂有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当C₂的准线与C₁右准线间的距离为15时，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）设点F且斜率为1的直线l交C₁于P，Q两点，交C₂于M，N两点．当|PQ|=

时，求|MN|的值．

题型：四川难度：| 查看答案

如图，设F是椭圆：C：

=1（a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面积的最大值．

题型：宿松县三模难度：| 查看答案

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，其左、右焦点为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=

，

PF1

•

PF2

，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-

，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

设椭圆

=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（I）求椭圆的方程；
（II）过定点M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0为常数）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于不同的两点A．B，问在x轴上是否存在一点N，使直线NA与NB的倾斜角互补？若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．

题型：河南模拟难度：| 查看答案

已知椭圆C₁：

=1(a＞b＞0)的离心率为e，且b，e，

为等比数列，曲线y=8-x²恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设双曲线C₂：

=1的顶点和焦点分别是椭圆C₁的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C₁和C₂上的点，问是否存在A，B满足

．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．

题型：不详难度：| 查看答案