已知椭圆x2a2+y2b2=1经过点P(62,12),离心率是22,动点M(2,t)(t>0)(1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM为直径且别直线3x-4y-5

已知椭圆x2a2+y2b2=1经过点P(62,12),离心率是22,动点M(2,t)(t>0)(1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM为直径且别直线3x-4y-5

题型:石景山区一模难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1经过点P(


6
2
1
2
),离心率是


2
2
,动点M(2,t)(t>0)
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且别直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,证明线段ON长是定值,并求出定值.魔方格
答案
(1)∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1经过点P(


6
2
1
2
),
离心率是


2
2

∴椭圆方程设为
x2
4k2
+
y2
2k2
=1

把点P(


6
2
1
2
)代入,
6
4
4k2
+
1
4
2k2
=1

解得4k2=2,
∴椭圆的标准方程是
x2
2
+y2=1

(2)以OM为直径的圆的圆心是(1,
t
2
),
半径r=


t2
4
+1

方程为(x-1)2+(y-
t
2
)2=
t2
4
+1

∵以OM为直径圆直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,
∴圆心(1,
t
2
)到直线3x-4y-5=0的距离d=


r2-1
=
t
2

|3-2t-5|
5
=
t
2

解得t=4,
∴所求圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=5.
(3)设N(x0,y0),
点N在以OM为直径的圆上,
所以x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,
即:x02+y02=2x0+ty0
又N在过F垂直于OM的直线上,
所以y0=-
2
t
(x0-1)

即2x0+ty0=2,
所以ON=


2
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点.
(1)若P(-1,


3
),PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;
(2)是否存在这样的椭圆C,使得
PA
PF
是常数?如果存在,求C的离心率,如果不存在,说明理由.
题型:枣庄一模难度:| 查看答案
椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,则椭圆的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
过点(2


5
3


5
5
),且2c=8的椭圆的标准方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且2b=4


5
的椭圆方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆的两个焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且F1F2是PF1与PF2的等差中项,则该椭圆方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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