已知椭圆x2a2+y2b2=1经过点P(62,12),离心率是22,动点M(2,t)(t>0)(1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM为直径且别直线3x-4y-5
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已知椭圆x2a2+y2b2=1经过点P(62,12),离心率是22,动点M(2,t)(t>0)(1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM为直径且别直线3x-4y-5
题型:石景山区一模
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1经过点P(
6
2
,
1
2
),离心率是
2
2
,动点M(2,t)(t>0)
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且别直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,证明线段ON长是定值,并求出定值.
答案
(1)∵椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1经过点P(
6
2
,
1
2
),
离心率是
2
2
,
∴椭圆方程设为
x
2
4
k
2
+
y
2
2
k
2
=1
,
把点P(
6
2
,
1
2
)代入,
得
6
4
4
k
2
+
1
4
2
k
2
=1
,
解得4k
2
=2,
∴椭圆的标准方程是
x
2
2
+
y
2
=1
.
(2)以OM为直径的圆的圆心是(1,
t
2
),
半径r=
t
2
4
+1
,
方程为
(x-1
)
2
+(y-
t
2
)
2
=
t
2
4
+1
,
∵以OM为直径圆直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,
∴圆心(1,
t
2
)到直线3x-4y-5=0的距离d=
r
2
-1
=
t
2
,
∴
|3-2t-5|
5
=
t
2
,
解得t=4,
∴所求圆的方程是(x-1)
2
+(y-2)
2
=5.
(3)设N(x
0
,y
0
),
点N在以OM为直径的圆上,
所以x
0
(x
0
-2)+y
0
(y
0
-t)=0,
即:x
0
2
+y
0
2
=2x
0
+ty
0
,
又N在过F垂直于OM的直线上,
所以
y
0
=-
2
t
(
x
0
-1)
,
即2x
0
+ty
0
=2,
所以
ON=
2
.
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),⊙O:x
2
+y
2
=b
2
,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点.
(1)若P(-1,
3
),PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;
(2)是否存在这样的椭圆C,使得
PA
PF
是常数?如果存在,求C的离心率,如果不存在,说明理由.
题型:枣庄一模
难度:
|
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椭圆的焦点为F
1
(0,-5),F
2
(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,则椭圆的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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过点(2
5
,
3
5
5
),且2c=8的椭圆的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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与椭圆9x
2
+4y
2
=36有相同焦点,且2b=4
5
的椭圆方程是______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆的两个焦点是F
1
(-1,0),F
2
(1,0),P为椭圆上一点,且F
1
F
2
是PF
1
与PF
2
的等差中项,则该椭圆方程是______.
题型:不详
难度:
|
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