已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点.(1)若P(-1,3),PA

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点.(1)若P(-1,3),PA

题型:枣庄一模难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点.
(1)若P(-1,


3
),PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;
(2)是否存在这样的椭圆C,使得
PA
PF
是常数?如果存在,求C的离心率,如果不存在,说明理由.
答案
(1)∵P(-1,


3
)在⊙O:x2+y2=b2上,
∴b2=4.(2分)
又∵PA是⊙O的切线
∴PA⊥OP


OP


AP
=0
即(-1,


3
)•(-1+a,


3
)=0,解得a=4.
∴椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
4
=1
(5分)
(2)∵c2=a2-b2,A(-a,0),F(-c,0),P(x1,y1
使得
PA
PF
是常数,则有(x1+a)2+y12=λ[(c+x12+y12](λ是常数)
∵x2+y2=b2
即b2+2ax1+a2=λ(b2+2cx1+c2),(8分)
比较两边,b2+a2=λ(b2+c2),a=λc,(10分)
故cb2+ca2=a(b2+c2),即ca2-c3+ca2=a3
即e3-2e+1=0,(12分)
(e-1)(e2+e-1)=0,符合条件的解有e=


5
-1
2

即这样的椭圆存在,离心率为


5
-1
2
.(16分)
举一反三
椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,则椭圆的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
过点(2


5
3


5
5
),且2c=8的椭圆的标准方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且2b=4


5
的椭圆方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆的两个焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且F1F2是PF1与PF2的等差中项,则该椭圆方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
设M(-5,0),N(5,0),△MNP的周长是36,则△MNP的顶点P的轨迹方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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