(1)抛物线C2:y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线为x=-1, 设点P的坐标为(x0,y0),依据抛物线的定义,由|PF|=,得1+x0=,解得x0=. ∵点P在抛物线C2上,且在第一象限,∴y02=4x0=4×,解得y0=. ∴点P的坐标为(,). ∵点P在椭圆C1:+=1(a>b>0)上,∴+=1. 又c=1,且a2=b2+c2=b2+1,解得a2=4,b2=3. ∴椭圆C1的方程为+=1. (2)设点M(x1,y1)、N(x2,y2)、R(x,y), 则=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(x-1,y). ∴+=(x1+x2-2,y1+y2). ∵+=, ∴x1+x2-2=x-1,y1+y2=y.① ∵M、N在椭圆C1上,∴+=1,+=1. 上面两式相减,把①式代入得+=0. 当x1≠x2时,得=-.② 设FR的中点为Q,则Q的坐标为(,). ∵M、N、Q、A四点共线,∴kMN=kAQ,即=.③ 把③式代入②式,得=-,化简得4y2+3(x2+4x+3)=0. 当x1=x2时,可得点R的坐标为(-3,0), 经检验,点R(-3,0)在曲线4y2+3(x2+4x+3)=0上. ∴动点R的轨迹方程为4y2+3(x2+4x+3)=0. (3)4y2+3(x2+4x+3)=0可化为(x+2)2+=1,中心为(-2,0),焦点在x轴上,左顶点坐标为(-3,0) ∵圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为(1,0),与x轴的交点坐标为(0,0),(2,0) ∴|RT|的最大值为2-(-3)=5. |