已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(Ⅰ)若e=32,求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,若

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(Ⅰ)若e=32,求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,若

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.
(Ⅰ)若e=


3
2
,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,若


AF2


BF2
=0
,且


2
2
<e≤


3
2
,求k的取值范围.
答案
(I)由题得:c=3,
c
a
=


3
2
⇒a=2


3
,b=


3

故椭圆方程为
x2
12
+
y2
3
=1

(II)由





x2
12
+
y2
3
=1
y=kx
得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=0,x1x2=
-a2b2
b2+a2k2
,又


AF2
=(3-x1,-y1),


BF2
=(3-x2,-y2),∴


AF2


BF2
=(1+k2)x1x2+9=0,即
-a2(a2-9)(1+k2)
a2k2+(a2-9)
+9=0

∴k2=
a4-18a2+81
-a4+18a2
=-1-
81
-a4+18a2



2
2
<e≤


3
2

∴2


3
≤a≤3


2
,12≤a2≤18,
∴k2
1
8
,即 k∈(-∞,-


2
4
]∪[


2
4
,+∞).
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长与焦距相等,且过定点(1,


2
2
)
,倾斜角为
π
4
的直线l交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求直线l在y轴上截距的取值范围;
(Ⅲ)求△ABP面积的最大值.
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已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点与抛物线C2y2=4x的焦点F重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF|=
5
3

(1)求椭圆C1的方程;
(2)若过点A(-1,0)的直线与椭圆C1相交于M、N两点,求使


FM
+


FN
=


FR
成立的动点R的轨迹方程;
(3)若点R满足条件(2),点T是圆(x-1)2+y2=1上的动点,求|RT|的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
设椭圆和x轴正方向的交点为A,和y轴的正方向的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,使四边形OAPB面积最大(O为原点),那么四边形OAPB面积最大值为(  )
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
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A.abB.abC.abD.2ab
已知椭圆C的中心在原点O,离心率e=


3
2
,右焦点为F(


3
,0)

(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆的上顶点为A,在椭圆C上是否存在点P,使得向量


OP
+


OA


FA
共线?若存在,求直线AP的方程;若不存在,简要说明理由.
已知椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),离心率e=


2
2
,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过椭圆的左焦点F1且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点,且|MN|=


2

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线l与椭圆相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ.试探究点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.