已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长与焦距相等,且过定点(1,22),倾斜角为π4的直线l交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长与焦距相等,且过定点(1,22),倾斜角为π4的直线l交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的短轴长与焦距相等,且过定点
(1,
2
2
)
,倾斜角为
π
4
的直线l交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求直线l在y轴上截距的取值范围;
(Ⅲ)求△ABP面积的最大值.
答案
(I)由题意可得
2b=2c
1
a
2
+
1
2
b
2
=1
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得a
2
=2,b
2
=1.
∴椭圆C的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
.
(II)设直线l的方程为:y=x+m.
联立
y=x+m
x
2
2
+
y
2
=1
,消去y得到3x
2
+4mx+2m
2
-2=0,
由△=16m
2
-24(m
2
-1)>0,得m
2
<3,即
-
3
<m<
3
.
∴直线l在y轴上的取值范围是
(-
3
,
3
)
.
(III)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).AB中点Q(x
0
,y
0
).
则
x
1
+
x
2
=-
4m
3
,
x
1
x
2
=
2
m
2
-2
3
.
∴y
1
+y
2
=x
1
+x
2
+2m=
2m
3
.
∴
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=-
2m
3
,
y
0
=
y
1
+
y
2
2
=
m
3
.
∴Q
(-
2m
3
,
m
3
)
.
∴AB的垂直平分线的方程为:
y-
m
3
=-(x+
2m
3
)
.
令y=0,得x=
-
m
3
.即
P(-
m
3
,0)
.
点P到直线AB的距离d=|PQ|=
(-
m
3
+
2m
3
)
2
+(0-
m
3
)
2
=
2
|m|
3
.
又
|AB|=
(1+1)[(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=
2
(-
4m
3
)
2
-4×
2
m
2
-2
3
=
4
3
3-
m
2
.
∴
S
△ABP
=
1
2
|AB|•d
=
1
2
×
4
3
3-
m
2
×
2
|m|
3
=
2
2
9
3
m
2
-
m
4
=
2
2
9
-(
m
2
-
3
2
)
2
+
9
4
.
∵m
2
<3,∴当且仅当
m
2
=
3
2
时,△ABP面积取得最大值
2
3
.
举一反三
已知椭圆
C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点与抛物线
C
2
:
y
2
=4x
的焦点F重合,椭圆C
1
与抛物线C
2
在第一象限的交点为P,
|PF|=
5
3
.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)若过点A(-1,0)的直线与椭圆C
1
相交于M、N两点,求使
FM
+
FN
=
FR
成立的动点R的轨迹方程;
(3)若点R满足条件(2),点T是圆(x-1)
2
+y
2
=1上的动点,求|RT|的最大值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设椭圆
和x轴正方向的交点为A,和y轴的正方向的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,使四边形OAPB面积最大(O为原点),那么四边形OAPB面积最大值为( )
A.
ab
B.
ab
C.
ab
D.2ab
题型:武汉模拟
难度:
|
查看答案
已知椭圆C的中心在原点O,离心率
e=
3
2
,右焦点为
F(
3
,0)
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆的上顶点为A,在椭圆C上是否存在点P,使得向量
OP
+
OA
与
FA
共线?若存在,求直线AP的方程;若不存在,简要说明理由.
题型:江门一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),离心率e=
2
2
,F
1
,F
2
分别是椭圆的左、右焦点,过椭圆的左焦点F
1
且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点,且|MN|=
2
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线l与椭圆相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ.试探究点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在圆x
2
+y
2
=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,D为垂足,点M在线段PD上,且|DP|=
2
|DM|,点P在圆上运动.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)过定点C(-1,0)的直线与点M的轨迹交于A、B两点,在x轴上是否存在点N,使
NA
•
NB
为常数,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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