已知椭圆的两个焦点,且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上
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已知椭圆的两个焦点,且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上
题型:甘肃省月考题
难度:
来源:
已知椭圆的两个焦点
,且椭圆短轴的两个端点与F
2
构成正三角形.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上存在定点E(m,0),使
恒为定值,求m的值.
答案
解:(I)由题意可得 c=
,tan30°=
=
,
∴b=1,∴a=2,
故椭圆的方程为
.
(Ⅱ) 设直线l的方程为 y﹣0=k(x﹣1),即 y=kx﹣k.
代入椭圆的方程化简可得(1+4k
2
)x
2
﹣8k
2
x+4k
2
﹣4=0,
∴x
1
+x
2
=
,x
1
?
x
2
=
.
∵
=(m﹣x
1
,﹣y
1
)(m﹣x
2
,﹣y
2
)=(m﹣x
1
)(m﹣x
2
)+y
1
y
2
=(m
2
+k
2
)+(1+k
2
)x
1
x
2
﹣(m+k
2
)(x
1
+x
2
)
=(m
2
+k
2
)+(1+k
2
)
﹣(m+k
2
)
)
=
恒为定值,
∴
,
∴m=
.
举一反三
已知椭圆
过点(0,1),且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅰ)A,B为椭圆C的左右顶点,直线
与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,|DE|·|DF|恒为定值.
题型:广东省月考题
难度:
|
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动点P(x,y)到两定点F
1
(0,﹣3),F
2
(0,3)的距离和10,则点P的轨迹方程为( )
题型:四川省期末题
难度:
|
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设椭圆C:
的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,
.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)如果|AB|=
,求椭圆C的方程.
题型:四川省期末题
难度:
|
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若椭圆的两焦点为(﹣2,0)和(2,0),且椭圆过点
,则椭圆方程是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:同步题
难度:
|
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离心率e=
,一个焦点是F(0,﹣3)的椭圆标准方程为( )
题型:同步题
难度:
|
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