如图,在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD,AB的中点为O,AD⊥AB,AD∥BC,AB=4,BC=3,AD=1,以A,B为焦点的椭圆经过点C。(1)求椭圆

如图,在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD,AB的中点为O,AD⊥AB,AD∥BC,AB=4,BC=3,AD=1,以A,B为焦点的椭圆经过点C。(1)求椭圆

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如图,在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD,AB的中点为O,AD⊥AB,AD∥BC,AB=4,BC=3,AD=1,以A,B为焦点的椭圆经过点C。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点E(0,1),问是否存在直线l与椭圆交于M,N两点且|ME|=|NE|,若存在,求出直线l斜率的取值范围;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)连接AC,依题意设椭圆的标准方程为
在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,
∴AC=5
∴CA+CB=5+3=2a,a=4
又2c=4,
∴c=2,从而b=
∴椭圆的标准方程为
(2)由题意知,当l与x轴垂直时,不满足|ME|=|NE|,当l与x轴平行时,|ME|=|NE|显然成立,此时k=0
设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)
消去y得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0,
∵Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-48)>0,
∴16k2+12>m2,①
令M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为F(x0,y0

∵|ME|=|NE|,
∴EF⊥MN,
∴kEF×k=-1

化简得m=-(4k2+3),
结合①得16k2+12>(4k2+3)2
即16k4+8k2-3<0,
解之得(k≠0)
综上所述,存在满足条件的直线l,且其斜率k的取值范围为
举一反三
如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是
[     ]
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
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已知椭圆的一个焦点在直线l:x=1上,离心率e=。设P、Q为椭圆上不同的两点,且弦PQ的中点T在直线l上,点R(,0),
(1)求椭圆的方程;
(2)试证:对于所有满足条件的P、Q,恒有|RP|=|RQ|。
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长为3的线段AB的端点A,B分别在x,y轴上移动,动点C(x,y)满足=2,则动点C的轨迹方程是(    )。
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已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4,l1,l2是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线,l1交E于A,B两点,l2交E于C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N,
(1)求椭圆E的方程;
(2)求l1的斜率k的取值范围;
(3)求的取值范围.
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如图,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B,作圆的切线AC、BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD于C、D两点,设AD、BC的交点为R,
(1)求动点R的轨迹E的方程;
(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点,交y轴于P点,且记12,求证:λ12为定值.
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