已知椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),离心率为32,两个焦点分别为F1和F2,椭圆C1上一点到F1和F2的距离之和为12,椭圆C2的方程为x
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已知椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),离心率为32,两个焦点分别为F1和F2,椭圆C1上一点到F1和F2的距离之和为12,椭圆C2的方程为x
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C
1
的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,离心率为
3
2
,两个焦点分别为F
1
和F
2
,椭圆C
1
上一点到F
1
和F
2
的距离之和为12,椭圆C
2
的方程为
x
2
(a-2)
2
+
y
2
b
2
-1
=1
,圆C
3
:x
2
+y
2
+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点A
k
.
(I)求椭圆C
1
的方程;
(II)求△A
k
F
1
F
2
的面积;
(III)若点P为椭圆C
2
上的动点,点M为过点P且垂直于x轴的直线上的点,
|OP|
|OM|
=e
(e为椭圆C
2
的离心率),求点M的轨迹.
答案
(I)设椭圆C
1
的半焦距为c,
则 2a=12
c
a
=
3
2
解得a=6,c=3
3
,(3分)
于是b
2
=a
2
-c
2
=36-27=9,(4分)
因此所求椭圆C
1
的方程为:
x
2
36
+
y
2
9
=1
(5分)
(II)点A
k
的坐标为(-k,2),
则
S
△
A
k
F
1
F
2
=
1
2
×
F
1
F
2
×2=
1
2
×6
3
×2=6
3
.(10分)
(III)椭圆C
2
的方程为
x
2
16
+
y
2
17
=1
,
设M(x,y),P(x,y
1
),其中x∈[-4,4].
由已知得
x
2
+
y
21
x
2
+
y
2
=
e
2
,
而e=
3
4
,故16(x
2
+y
1
2
)=9(x
2
+y
2
).
由点P在椭圆C上得
y
21
=
112-7
x
2
16
,
化整理得9y
2
=112,(13分)
因此点M的轨迹方程为
y=±
4
7
3
(-4≤x≤4)
,(14分)
轨迹是两条平行于x轴的线段.(15分)
举一反三
设F
1
、F
2
分别为椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的左、右两个焦点.
(1)若椭圆C上的点A(1,
3
2
)到F
1
、F
2
两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
(2)已知圆心在原点的圆具有性质:若M、N是圆上关于原点对称的两点,点P是圆上的任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记作K
PM
、K
PN
那么K
PM
K
PN
=-1.试对椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
写出类似的性质,并加以证明.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
与圆(x-a)
2
+y
2
=9有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.|a|≤6
B.0<a≤5
C.|a|<5
D.a≤6
题型:不详
难度:
|
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已知焦点在x轴上的椭圆
x
2
4
+
y
2
b
2
=1,(b>0)
F
1
,F
2
是它的两个焦点,若椭圆上存在点P,使
PF
1
•
PF
2
=0
,则b的取值范围是 ______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
(0<b<2)与y轴交于A、B两点,点F为该椭圆的一个焦点,则△ABF面积的最大值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
题型:福建模拟
难度:
|
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已知抛物线D的顶点是椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(Ⅰ)求抛物线D的方程;
(Ⅱ)已知动直线l过点P(4,0),交抛物线D于A、B两点.(i)若直线l的斜率为1,求AB的长;(ii)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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