已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(Ⅱ)当∠ABC=60°

已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(Ⅱ)当∠ABC=60°

题型:北京难度:来源:
已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
(Ⅱ)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.
答案
(Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=-x+n.





x2+3y2=4
y=-x+n
得4x2-6nx+3n2-4=0.
因为A,C在椭圆上,
所以△=-12n2+64>0,解得-
4


3
3
<n<
4


3
3

设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
x1+x2=
3n
2
x1x2=
3n2-4
4
,y1=-x1+n,y2=-x2+n.
所以y1+y2=
n
2

所以AC的中点坐标为(
3n
4
n
4
)

由四边形ABCD为菱形可知,点(
3n
4
n
4
)
在直线y=x+1上,
所以
n
4
=
3n
4
+1
,解得n=-2.
所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,
所以|AB|=|BC|=|CA|.
所以菱形ABCD的面积S=


3
2
|AC|2

由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=
-3n2+16
2

所以S=


3
4
(-3n2+16)(-
4


3
3
<n<
4


3
3
)

所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值4


3
举一反三
已知离心率为


6
3
的椭圆C:
x2
a 2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)经过点P(


3
,1)

(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点F1且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点,若


OM


ON
=
4


6
3tan∠MON
(O为坐标原点),求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
16
+
y2
4
=1的左右焦点分别为F1与F2,点P在直线l:x-


3
y+8+2


3
=0上.当∠F1PF2取最大值时,
|PF1|
|PF2|
的比值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),l交椭圆于A、B两个不同点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,求证k1+k2=0.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是(  )
题型:南汇区二模难度:| 查看答案
A.4aB.2(a-c)
C.2(a+c)D.以上答案均有可能
已知点P是椭圆数学公式+数学公式=1(xy≠0)上的动点,F1、F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上的一点,且数学公式数学公式=0,则|OM|的取值范围是(  )
题型:不详难度:| 查看答案
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