解:(1)∵过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8 ∴4a=8, ∴a=2 ∵e= , ∴c=1 ∴b2=a2-c2=3 ∴椭圆E的方程为 。 (2)由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0 ∵动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0) ∴m≠0,△=0, ∴(8km)2-4×(4k2+3)×(4m2-12)=0 ∴4k2-m2+3=0① 此时x0==,y0=, 即P(,) 由得Q(4,4k+m) 取k=0,m=,此时P(0,),Q(4,), 以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-)2=4,交x轴于点M1(1,0)或M2(3,0) 取k=,m=2,此时P(1,),Q(4,0), 以PQ为直径的圆为(x-)2+(y-)2=,交x轴于点M3(1,0)或M4(4,0) 故若满足条件的点M存在,只能是M(1,0), 证明如下∵ ∴ 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(1,0)。 |