已知椭圆C:的离心率为,且过点。(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点,若以AB为直径的圆D经过坐标原点.证明:圆D的半径
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已知椭圆C:的离心率为,且过点。(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点,若以AB为直径的圆D经过坐标原点.证明:圆D的半径
题型:河北省模拟题
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来源:
已知椭圆C:
的离心率为
,且过点
。
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点,若以AB为直径的圆D经过坐标原点.证明:圆D的半径为定值.
答案
解:(Ⅰ)∵
∴
又∵
∴
∴方程为
,代点得a
2
=4
∴b
2
=1
所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ)证明:设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
(1)当AB的斜率不存在时,则由椭圆的对称性知x
1
=x
2
,y
1
=-y
2
∵以AB为直径的圆经过原点,
∴
即
∴
代入椭圆标准方程中得
此时0到AB的距离为
(2)当AB的斜率为零时,则由椭圆的对称性知
同理可求得
,
综上所述,圆D的半径为定值
。
举一反三
如图所示,在直角梯形ABCD中,|AD|=3,|AB|=4,|BC|=
,曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等.
(1)建立适当的直角坐标系,求曲线段DE的方程;
(2)过C能否作一条直线与曲线段DE相交,且所得弦以C为中点,如果能,求该弦所在的直线的方程;若不能,说明理由.
题型:广东省模拟题
难度:
|
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如图,椭圆C:
的顶点为A
1
,A
2
,B
1
,B
2
,焦点为F
1
,F
2
,|A
1
B
1
|=
,
S
=
2S
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,且
,是否存在上述直线l使
=1成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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分别以双曲线
的焦点为顶点,以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点P的坐标为(0,3),在y轴上是否存在定点M,过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点,使以AB为直径的圆恒过点P,若存在,求出M的坐标;若不存在,说明理由.
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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设椭圆M:
(a>b>0)的离心率与双曲线x
2
﹣y
2
=1的离心率互为倒数,且内切于圆x
2
+y
2
=4.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若直线y=
x+m交椭圆于A、B两点,椭圆上一点
,求△PAB面积的最大值.
题型:河南省模拟题
难度:
|
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已知椭圆C
1
、抛物线C
2
的焦点均在x轴上,C
1
的中心和C
2
的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
(Ⅰ)求C
1
、C
2
的标准方程;
(Ⅱ)请问是否存在直线l满足条件:①过C
2
的焦点F;②与C
1
交不同两点M、N且满足
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由
题型:吉林省模拟题
难度:
|
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