已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:(Ⅰ)求C1、C2的标准方程;(Ⅱ)请问

已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:(Ⅰ)求C1、C2的标准方程;(Ⅱ)请问

题型:吉林省模拟题难度:来源:
已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
(Ⅰ)求C1、C2的标准方程;
(Ⅱ)请问是否存在直线l满足条件:①过C2的焦点F;②与C1交不同两点M、N且满足?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由
答案
解:(Ⅰ)设抛物线C2:y2=2px(p≠0),则有
据此验证4个点知(3,﹣2)、(4,﹣4)在抛物线上,
易求C2:y2=4x
设C1
把点(﹣2,0)()代入
得:解得
∴C1方程为
(Ⅱ)容易验证直线l的斜率不存在时,不满足题意;
当直线l斜率存在时,假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0),
设其方程为y=k(x﹣1),
与C1的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2
消掉y,
得(1+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣1)=0,
于是
y1y2=k(x1﹣1)×k(x1﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]

,即
得x1x2+y1y2=0(*),
将①、②代入(*)式,

解得k=±2;
所以存在直线l满足条件,
且l的方程为:y=2x﹣2或y=﹣2x+2.
举一反三
设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1·PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
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已知椭圆的右顶点为A,右焦点为F,直线与x轴交于点B且与直线交于点C,点O为坐标原点,,过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,点P为点M直线的对称点
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:N、B、P三点共线;
(3)求△BMN的面积.的最大值.
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已知椭圆经过点A(2,1),离心率为,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)P(2,3),Q(2,﹣3)是椭圆上两点,A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点,
(i)若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
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如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,B为椭圆的上顶点且△BF1F2的周长为4+2
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M,N两点,且椭圆右焦点F2恰为△BMN的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明由..
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