设椭圆M:(a>b>0)的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数,且内切于圆x2+y2=4.(1)求椭圆M的方程;(2)若直线y=x+m交椭圆于A、B两点
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设椭圆M:(a>b>0)的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数,且内切于圆x2+y2=4.(1)求椭圆M的方程;(2)若直线y=x+m交椭圆于A、B两点
题型:河南省模拟题
难度:
来源:
设椭圆M:
(a>b>0)的离心率与双曲线x
2
﹣y
2
=1的离心率互为倒数,且内切于圆x
2
+y
2
=4.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若直线y=
x+m交椭圆于A、B两点,椭圆上一点
,求△PAB面积的最大值.
答案
解:(1)双曲线的离心率为
,
则椭圆的离心率为
圆x
2
+y
2
=4的直径为4,则2a=4,
得:
所求椭圆M的方程为
.
(2)直线AB的直线方程:
.
由
,得
,
由
,
得﹣2
<m<2
∵
,
.
∴
=
又P到AB的距离为
.则
当且仅当
取等号
∴
.
举一反三
已知椭圆C
1
、抛物线C
2
的焦点均在x轴上,C
1
的中心和C
2
的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
(Ⅰ)求C
1
、C
2
的标准方程;
(Ⅱ)请问是否存在直线l满足条件:①过C
2
的焦点F;②与C
1
交不同两点M、N且满足
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由
题型:吉林省模拟题
难度:
|
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设F
1
、F
2
分别是椭圆
的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求PF
1
·PF
2
的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
题型:江西省模拟题
难度:
|
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已知椭圆
的右顶点为A,右焦点为F,直线
与x轴交于点B且与直线
交于点C,点O为坐标原点,
,
,过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,点P为点M直线
的对称点
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:N、B、P三点共线;
(3)求△BMN的面积.的最大值.
题型:江西省模拟题
难度:
|
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已知椭圆
经过点A(2,1),离心率为
,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求
的取值范围.
题型:北京模拟题
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于
,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)P(2,3),Q(2,﹣3)是椭圆上两点,A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点,
(i)若直线AB的斜率为
,求四边形APBQ面积的最大值;
(ii)当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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