已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，且|AB|=8 ，动点P 满足，设点P的轨迹为曲线C，定点为M（4，0），直线PM交曲线C于另外一点

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已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，且|AB|=8 ，动点P 满足，设点P的轨迹为曲线C，定点为M（4，0），直线PM交曲线C于另外一点Q．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△OPQ面积的最大值。

答案

解：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），
则=（x-a，y），=(-x，b-y)，


∴
又|AB|==8．
∴
∴曲线C的方程为
（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，
设直线PM的方程为x= my +4，
由消去x得（9m²+25）y²+72my-81=0
∴
∴


当
即时，△OPQ的面积取得最大值为，
此时直线方程为。