已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（1，0），且长轴长是短轴长的倍．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A

题型：陕西省月考题难度：来源：

已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（1，0），且长轴长是短轴长的倍．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为﹣1，求△OAB的面积．

答案

解：（Ⅰ）由题意得，
又a²﹣b²=1，所以b²=1，a²=2．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设A（0，1），B（x₁，y₁），P（x₀，y₀），
联立
消去y得（1+2k²）x²+4kx=0（*），
解得x=0或，所以，
所以，，
因为直线OP的斜率为﹣1，所以，
解得（满足（*）式判别式大于零）．
O到直线的距离为，
=，
△OAB的面积为．