中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点P(1,),(1)求C的标准方程;(2)直线l与C交于A、B两点,M为AB中点,且AB=2MP,请问直线l是
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中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点P(1,),(1)求C的标准方程;(2)直线l与C交于A、B两点,M为AB中点,且AB=2MP,请问直线l是
题型:陕西省模拟题
难度:
来源:
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
,且经过点P(1,
),
(1)求C的标准方程;
(2)直线l与C交于A、B两点,M为AB中点,且AB=2MP,请问直线l是否经过某个定点,如果经过定点,求出点的坐标;如果不过定点,请说明理由。
答案
解:(1)由
,
设C的标准方程为
带入(1,
),
解得C的方程为
;
(2)若l斜率存在,设AB坐标
,
l的方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得:
,
则
,
由AB=2MP得AP⊥PB,即
,
则
,
即
,
而
,
代入化简得
,
或
,
若
,则过定点
,不合题意,舍去;
若
,则过定点
;
若l斜率不存在,同样可以验证通过
;
综上所述,l通过定点,此点坐标为
。
举一反三
已知椭圆C
1
:
的离心率为
,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C
1
的短半轴长为半径的圆O相切。
(Ⅰ)求椭圆C
1
的方程;
(Ⅱ)设椭圆C
1
的左焦点为F
1
,右焦点为F
2
,直线l
1
过点F
1
,且垂直于椭圆的长轴,动直线l
2
垂直于l
1
,垂足为点P,线段PF
2
的垂直平分线交l
2
于点M,求点M的轨迹C
2
的方程;
(Ⅲ)过椭圆C
1
的左顶点A做直线m,与圆O相交于两点R、S,若△ORS是钝角三角形,求直线m的斜率k的取值范围。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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设平面内两定点
,直线PF
1
和PF
2
相交于点P,且它们的斜率之积为定值
;
(Ⅰ)求动点P的轨迹C
1
的方程;
(Ⅱ)设M(0,
),N为抛物线C
2
:y=x
2
上的一动点,过点N作抛物线C
2
的切线交曲线C
1
于P、Q两点,求△MPQ面积的最大值。
题型:湖北省模拟题
难度:
|
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过椭圆
的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为
[ ]
A.
B.
C.2
D.1
题型:期末题
难度:
|
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椭圆
上的点到直线x+2y
的最大距离是
[ ]
A.3
B.
C.
D.
题型:期末题
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=4x,F 是C的焦点,过点F 的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点
(1) 求
的值;
(2)设
,当三角形OAB的面积
时,求λ的取值范围.
题型:期末题
难度:
|
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