已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1,(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同

已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1,(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同

题型:广西自治区月考题难度:来源:
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1,
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是椭圆的左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标。
答案
解:(Ⅰ)设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,
,解得
∴椭圆C的标准方程为
(Ⅱ)由方程组消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
由题意Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
整理得:3+4k2-m2>0, ①
设M(x1,y1)、N(x2,y2),

由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0),
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,
即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,
也即
整理得7m2+16mk+4k2=0,解得m=-2k或,均满足①.
当m=-2k时,直线l的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),不符合题意,舍去;
时,直线l的方程为,过定点
故直线l过定点,且定点的坐标为
举一反三
过椭圆2x2+y2=2的一个焦点作直线交椭圆于P,Q两点,求△POQ面积S的最大值。
题型:北京期中题难度:| 查看答案
已知椭圆及直线l:y=x+m。
(1)当直线l与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求直线l被椭圆截得的弦长的最大值。
题型:湖南省期中题难度:| 查看答案
已知点F1,F2分别为椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2的距离的最大值为+1,且△PF1F2的最大面积为1。
(1)求椭圆C的方程。
(2)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点。对于任意的k∈R,是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。 
题型:山东省期中题难度:| 查看答案
椭圆的两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),离心率e=
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN中点的横坐标为-,求直线l倾斜角的取值范围。
题型:广东省月考题难度:| 查看答案
已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1),且离心率为,Q为椭圆C的左顶点。
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知过点(,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点。
(ⅰ)若直线了l垂直于x轴,求∠AQB的大小;
(ⅱ)若直线l与x轴不垂直,是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由。
题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案
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