解:(1)由已知得,椭圆C的左顶点为上顶点为 ∴ 故椭圆C的方程为。 (2)直线AS的斜率k显然存在,且,故可设直线AS的方程为, 从而 由得0 设则(-2)×得, 从而 即 又 由得 ∴ 故 又 ∴ 当且仅当,即时等号成立 ∴时,线段MN的长度取最小值。 (3)由(2)可知,当MN取最小值时, 此时的方程为,S ∴ 要使椭圆C上存在点T,使得的面积等于,只须T到直线BS的距离等于, 所以T在平行于且与距离等于的直线l′上。 设直线l′: 则由解得或 当由得 由于 故直线与椭圆C有两个不同的交点 当由得 由于,故直线l′与椭圆C没有交点 综上所述,当线段MN的长度最小时,椭圆上仅存在两个不同的点T,使得的面积等于。 |