解:(1)由A1、A2分别为双曲线的左、右顶点知
两式相乘得 ∵点P(x1,y1)在双曲线上 ,即 ∴ ∴ 即直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为; (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B,且 又设该圆的切线方程为y=kx+m, 由消去y,得 则 即 设 则 ∴ 要使,需使 即0 ∴ 解得或 ∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线, ∴圆的半径为 ,故所求圆为 此时圆的切线y=kx+m都满足或 而当切线的斜率不存在时,切线为与椭圆 的两个交点为或 满足 综上,存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B 且。 |