解:(I)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,
O到l的距离为,故,
由,得。
(Ⅱ)C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立,
由(I)知C的方程为2x2+3y2=6,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
(i)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=k(x-1),
C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2),
且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6,
又A、B在C上,即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6,
故2x1x2+3y1y2+3=0, ①
将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,
并化简得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,
于是,,
代入①解得,k2=2,此时,
于是,即,
因此,当时,,l的方程为;
当时,,l的方程为。
(ⅱ)当l垂直于x轴时,由知,C上不存在点P使成立;
综上,C上存在点使成立,
此时l的方程为。
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