设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.(1)求椭圆的离心率;(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切,求

设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.(1)求椭圆的离心率;(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切,求

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设椭圆)的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切,求直线的斜率.
答案
(1);(2)直线的斜率为
解析

试题分析:(1)设椭圆的右焦点的坐标为,由已知,可得,结合,可得,从而可求得椭圆的离心率;(2)在(1)的基础上,可先利用及数量积的坐标运算求出点的坐标,再求出以线段为直径的圆的方程(圆心坐标和半径),最后设经过原点的与该圆相切的直线的方程为,由圆心到切线的距离等于半径,列方程,解方程即可得求得直线的斜率.
(1)设椭圆的右焦点的坐标为.由,可得,又,则,∴椭圆的离心率
(2)由(1)知,故椭圆方程为.设.由,有.由已知,有,即.又,故有                          ①
又∵点在椭圆上,故         ②
由①和②可得.而点不是椭圆的顶点,故,代入①得,即点的坐标为.设圆的圆心为,则,进而圆的半径.设直线的斜率为,依题意,直线的方程为.由与圆相切,可得,即,整理得,解得.∴直线的斜率为
举一反三
已知椭圆C:.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.
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如图5,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线,使得交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.

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的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线交于A,B两点,若的面积为2,求C的标准方程.

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分别是椭圆的左右焦点,上一点且轴垂直,直线的另一个交点为
(1)若直线的斜率为,求的离心率;
(2)若直线轴上的截距为,且,求
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设椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A,上顶点为B.已知=.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切与点M,=.求椭圆的方程.
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