设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B

设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B

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设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)2+=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
答案
(1)(2)+=1
解析

试题分析:(1)直接利用|PF2|=|F1F2|,对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e;
(2)先把直线PF2与椭圆方程联立求出A,B两点的坐标以及对应的|AB|两点,进而求出|MN|,再利用弦心距,弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系,即可求椭圆的方程.
解:(1)设F1(﹣c,0),F2(c,0)   (c>0).
由题得|PF2|=|F1F2|,即=2c,整理得2+﹣1=0,得=﹣1(舍),或=
所以e=
(2)由(1)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线方程PF2为y=(x﹣c).
A,B的坐标满足方程组
消y并整理得5x2﹣8xc=0,
解得x=0,x=,得方程组的解为
不妨设A(c,c),B(0,﹣c).
所以|AB|==c,于是|MN|=|AB|=2c.
圆心(﹣1,)到直线PF2的距离d=
因为d2+=42,所以(2+c)2+c2=16,整理得c=﹣(舍)或c=2.
所以椭圆方程为+=1.
点评:本题主要考查椭圆的方程和几何性质,直线的方程,两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想,考查解决问题的能力和运算能力.
举一反三
(12分)(2011•重庆)如图,椭圆的中心为原点0,离心率e=,一条准线的方程是x=2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:=+2,其中M、N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为﹣
问:是否存在定点F,使得|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由.
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在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点分别焦距为,且与双曲线共顶点.为椭圆上一点,直线交椭圆于另一点
(1)求椭圆的方程;
(2)若点的坐标为,求过三点的圆的方程;
(3)若,且,求的最大值.
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已知椭圆过点,两个焦点为.
(1)求椭圆的方程;
(2),是椭圆上的两个动点,如果直线的斜率与的斜率互为相反数,证明直线的斜率为定值,并求出这个定值.
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已知椭圆经过点,其离心率
(1)求椭圆的方程;
(2)过坐标原点作不与坐标轴重合的直线交椭圆两点,过轴的垂线,垂足为,连接并延长交椭圆于点,试判断随着的转动,直线的斜率的乘积是否为定值?说明理由.
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若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合,则的值为(   )
A.-8B.-16C.D.

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