试题分析:(1)利用椭圆的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为,建立方程组,即可求椭圆C的方程;(2)分类讨论,①当轴时,得②当与轴不垂直时,设直线的方程为.联立,得,利用韦达定理,及以AB弦为直径的圆过坐标原点O,则有,得,再利用点到直线的距离公式,即可求得结论. 解:(1)设椭圆的半焦距为,依题意 , 所求椭圆方程为. (2)设,. ①当轴时,设方程为:,此时两点关于轴对称, 又以为直径的圆过原点,设代人椭圆方程得: ②当与轴不垂直时, 设直线的方程为.联立, 整理得, ,. 又。 由以为直径的圆过原点,则有。 即: 故满足: 得: 所以=。又点到直线的距离为:。 综上所述:点到直线的距离为定值. |