解:(1)设椭圆的标准方程为,且. 由题意可知:,. 所以. 所以,椭圆的标准方程为. (2)由(1)得.设. (ⅰ)当直线垂直于轴时,直线的方程为. 由 解得:或 即(不妨设点在轴上方). 则直线的斜率,直线的斜率. 因为 , 所以. 所以 . (ⅱ)当直线与轴不垂直时,由题意可设直线的方程为. 由消去得:. 因为 点在椭圆的内部,显然. 因为 ,,, 所以
. 所以 . 所以 为直角三角形. 假设存在直线使得为等腰三角形,则.
取的中点,连接,则. 记点为. 另一方面,点的横坐标, 所以 点的纵坐标. 所以 . 所以 与不垂直,矛盾. 所以 当直线与轴不垂直时,不存在直线使得为等腰三角形 |