试题分析:(1)由题意可得点 的坐标,设出椭圆的标准方程,根据题意知 ,求得 ,进而根据 和 的关系求得 ,则椭圆的方程可得;(2)设直线 的方程为 .与椭圆方程联立,设 两点坐标分别为 .根据韦达定理求得 和 ,进而根据若以 为直径的圆恰好过原点,推断则 ,得知 ,根据 求得 代入即可求得 ,最后检验看是否符合题意. (1)由题意可得点 的坐标分别为 . 设椭圆的标准方程是 .
, .
.
椭圆的标准方程是![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023133417-14650.png) (2) 由题意直线的斜率存在,可设直线 的方程为 . 联立方程 ,消去 整理得 . 设 两点的坐标分别为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023133419-78333.png) ∴ . 若以 为直径的圆恰好过原点,则 ,所以 , 所以, ,即 . 所以 ,即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023133421-27294.png) 得 满足 , 所以直线 的方程为 ,或 . 故存在过 的直线 : 使得以弦 为直径的圆恰好过原点. |