已知椭圆:()的右焦点为,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、,以线段为底边作等腰三角形,其中顶点的坐标为,求△的面积.

已知椭圆:()的右焦点为,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、,以线段为底边作等腰三角形,其中顶点的坐标为,求△的面积.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆)的右焦点为,且椭圆过点
(1)求椭圆的方程;
(2)设斜率为的直线与椭圆交于不同两点,以线段为底边作等腰三角形,其中顶点的坐标为,求△的面积.
答案
(1) ;(2)
解析

试题分析:(1)要确定椭圆方程,要确定两个参数的值,因此需要两个条件,题中有焦点为
,又椭圆过点,代入方程又得到一个关于的等式,联立可解得;(2) 直线和圆锥曲线相交问题,一般都是设出直线方程,本题直线的方程可设为,代入椭圆方程得到关于的一元二次方程,再设交点为,则可得,而条件等腰三角形的应用方法是底边边上的中线就是此边上的高,即取中点为,则.由此可求得从而得到坐标,最终求得的面积.
试题解析:(1)由已知得,因为椭圆过点,所以   (2分)
解得                                (5分)
所以,椭圆的方程为.            (6分)
(2)设直线的方程为,              (1分)
 ① (2分)
因为直线与椭圆交于不同两点,所以△
所以.            (3分)
,则是方程①的两根,所以
的中点为,则, (4分)
因为是等腰三角形的底边,所以,向量是直线的一个法向量,
所以∥向量,即∥向量
所以,解得.    (5分)
此时方程①变为,解得,所以
到直线的距离, (7分)
所以△的面积.   (8分)
举一反三
分别为椭圆:的左右顶点,为右焦点,在点处的切线,上异于的一点,直线,中点,有如下结论:①平分;②与椭圆相切;③平分;④使得的点不存在.其中正确结论的序号是_____________.

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设抛物线:的准线与轴交于点,焦点为;椭圆为焦点,离心率.设的一个交点.

(1)求椭圆的方程.
(2)直线的右焦点,交两点,且等于的周长,求的方程.
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已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点,设左右焦点分别为F1,F2,P是C1与C2在第一象限的交点,PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是(    )
A.(,+) B.(,+) C.(,+)D.(0,+)

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已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为,且椭圆C上一点与两个焦点F1,F2构成的三角形的周长为2+2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A,B两点,设,若,求的取值范围.
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已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆交于两点,试问,是否存在轴上的点,使得对任意的为定值,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.
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