已知椭圆:()的右焦点为,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、,以线段为底边作等腰三角形,其中顶点的坐标为,求△的面积.
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已知椭圆:()的右焦点为,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、,以线段为底边作等腰三角形,其中顶点的坐标为,求△的面积.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
:
(
)的右焦点为
,且椭圆
过点
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设斜率为
的直线
与椭圆
交于不同两点
、
,以线段
为底边作等腰三角形
,其中顶点
的坐标为
,求△
的面积.
答案
(1)
;(2)
.
解析
试题分析:(1)要确定椭圆方程,要确定
两个参数的值,因此需要两个条件,题中有焦点为
,
即
,又椭圆过点
,代入方程又得到一个关于
的等式,联立可解得
;(2) 直线和圆锥曲线相交问题,一般都是设出直线方程,本题直线
的方程可设为
,代入椭圆方程得到关于
的一元二次方程,再设交点为
,则可得
,
,而条件等腰三角形
的应用方法是底边
边上的中线就是此边上的高,即取
中点为
,则
.由此可求得
从而得到
坐标,最终求得
的面积.
试题解析:(1)由已知得
,因为椭圆
过点
,所以
(2分)
解得
(5分)
所以,椭圆
的方程为
. (6分)
(2)设直线
的方程为
, (1分)
由
得
① (2分)
因为直线
与椭圆
交于不同两点
、
,所以△
,
所以
. (3分)
设
,
,则
,
是方程①的两根,所以
,
设
的中点为
,则
,
, (4分)
因为
是等腰三角形
的底边,所以
,向量
是直线
的一个法向量,
所以
∥向量
,即
∥向量
,
所以
,解得
. (5分)
此时方程①变为
,解得
,
,所以
.
又
到直线
:
的距离
, (7分)
所以△
的面积
. (8分)
举一反三
设
分别为椭圆
:
的左右顶点,
为右焦点,
为
在点
处的切线,
为
上异于
的一点,直线
交
于
,
为
中点,有如下结论:①
平分
;②
与椭圆
相切;③
平分
;④使得
的点
不存在.其中正确结论的序号是_____________.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线
:
的准线与
轴交于点
,焦点为
;椭圆
以
和
为焦点,离心率
.设
是
与
的一个交点.
(1)求椭圆
的方程.
(2)直线
过
的右焦点
,交
于
两点,且
等于
的周长,求
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C
1
与双曲线C
2
有共同的焦点,设左右焦点分别为F
1
,F
2
,P是C
1
与C
2
在第一象限的交点,
PF
1
F
2
是以PF
1
为底边的等腰三角形,若椭圆与双曲线的离心率分别为e
1
,e
2
,则e
1
·e
2
的取值范围是( )
A.(
,+
)
B.(
,+
)
C.(
,+
)
D.(0,+
)
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为
,且椭圆C上一点与两个焦点F
1
,F
2
构成的三角形的周长为2
+2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F
2
作直线l 与椭圆C交于A,B两点,设
,若
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.
(1)求椭圆
的方程;
(2)已知直线
与椭圆
交于
、
两点,试问,是否存在
轴上的点
,使得对任意的
,
为定值,若存在,求出
点的坐标,若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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