已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆交于、两点,试问,是否存在轴上的点,使得对任意的,为定值,若存在,求
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已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆交于、两点,试问,是否存在轴上的点,使得对任意的,为定值,若存在,求
题型:不详
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已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.
(1)求椭圆
的方程;
(2)已知直线
与椭圆
交于
、
两点,试问,是否存在
轴上的点
,使得对任意的
,
为定值,若存在,求出
点的坐标,若不存在,说明理由.
答案
(1)
;(2)存在点
使得
为定值.
解析
试题分析:(1)椭圆的标准方程是
,则本题中有
,已知三角形的面积为4,说明
,这样可以求得
;(2)存在性命题的解法都是假设存在,然后想办法求出
.下面就是想法列出关于
的方程,本题是直线与椭圆相交问题,一般方法是设交点为
,把直线方程
代入椭圆方程交化简为
,则有
,
,而
,就可用
表示,这个值为定值,即与
无关,分析此式可得出结论..
试题解析:(1)设椭圆的短半轴为
,半焦距为
,
则
,由
得
,
由
解得
,则椭圆方程为
. (6分)
(2)由
得
设
由韦达定理得:
=
=
=
, (10分)
当
,即
时,
为定值,所以,存在点
使得
为定值(14分).
举一反三
若椭圆
与双曲线
有相同的焦点,则
的值是( )
A.
B.1或
C.1或
D.1
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已知
为平面内两定点,过该平面内动点
作直线
的垂线,垂足为
.若
,其中
为常数,则动点
的轨迹不可能是( )
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线
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如果椭圆
上一点
到焦点
的距离为6,则点
到另一个焦点
的距离为( )
A.10
B.6
C.12
D.14
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椭圆
的离心率为( )
A.
B.
C.±
D.±
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已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,且长轴长为12,离心率为
,则椭圆的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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