(理)已知点是平面直角坐标系上的一个动点,点到直线的距离等于点到点的距离的2倍.记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点,
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(理)已知点是平面直角坐标系上的一个动点,点到直线的距离等于点到点的距离的2倍.记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点,
题型:不详
难度:
来源:
(理)已知点
是平面直角坐标系上的一个动点,点
到直线
的距离等于点
到点
的距离的2倍.记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程;
(2)斜率为
的直线
与曲线
交于
两个不同点,若直线
不过点
,设直线
的斜率分别为
,求
的数值;
(3)试问:是否存在一个定圆
,与以动点
为圆心,以
为半径的圆相内切?若存在,求出这个定圆的方程;若不存在,说明理由.
答案
(1)
;(2)0;(3)存在,定圆
的方程为:
.
解析
试题分析:(1)本题是求方程问题,由于没有告诉我们是什么曲线,因此我们可根据已知条件采取直接法求方程,由已知可得
,然后化简即可;(2)这是直线与圆锥曲线相交问题,解题方法是设直线
方程为
(注意
,知道为什么吗?),与曲线方程联立方程组,并消去
得到关于
的二次方程,如果设
,则可得
(用
表示),而
变形后表示成
的式子,再把刚才的表达式代入计算应该就能得到结论;(3)假设存在这个定圆
与动圆
内切,则圆心距
为两圆半径之差,从而
与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值(定圆
的半径),由于点
是椭圆的右焦点,这时联想椭圆的定义,若
是椭圆的左焦点,则就有
是常数,故定圆是以
为圆心,4为半径的圆.
试题解析:(1)由题知,有
.
化简,得曲线
的方程:
.
(2)∵直线
的斜率为
,且不过
点,
∴可设直线
:
.
联立方程组
得
.
又交点为
,
∴
.
∴
(3)答:一定存在满足题意的定圆
.
理由:∵动圆
与定圆
相内切,
∴两圆的圆心之间距离
与其中一个圆的半径之和或差必为定值.
又
恰好是曲线(椭圆)
的右焦点,且
是曲线
上的动点,
记曲线
的左焦点为
,联想椭圆轨迹定义,有
,
∴若定圆的圆心
与点
重合,定圆的半径为4时,则定圆
满足题意.
∴定圆
的方程为:
.
举一反三
巳知椭圆
的离心率是
.
⑴若点P(2,1)在椭圆上,求椭圆的方程;
⑵若存在过点A(1,0)的直线
,使点C(2,0)关于直线
的对称点在椭圆上,求椭圆的焦距的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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过椭圆的一个焦点
作垂直于实轴的弦
,
是另一焦点,若∠
,则椭圆的离心率
等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆C
1
:
的右焦点为F,P为椭圆上的一个动点.
(1)求线段PF的中点M的轨迹C
2
的方程;
(2)过点F的直线
l
与椭圆C
1
相交于点A、D,与曲线C
2
顺次相交于点B、C,当
时,求直线
l
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的方程C:
(
),若椭圆的离心率
,则
的取值范围是.
题型:不详
难度:
|
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设
、
分别是椭圆
的左、右焦点,点
在椭圆
上,线段
的中点在
轴上,若
,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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