已知椭圆过点,且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于A、B两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.(1)求椭圆的方程;(2)求△的面积.

已知椭圆过点,且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于A、B两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.(1)求椭圆的方程;(2)求△的面积.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆过点,且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于AB两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)求△的面积.
答案
(1);(2).
解析

试题分析:(1)要求椭圆标准方程,就是要求得,因此我们要寻找关于的两个等式,本题中有离心率,是一个等式,另一个是椭圆过点,即,再结合可解得,得到标准方程;(2)要求△的面积,应该先确定位置,也即确定直线,我们可以设的方程为,条件是以为底边的等腰三角形怎么应用?这个条件用得较多的是其性质,三线合一,即取的中点,则有,我们就用这个来求出参数的值,方法是设的中点为,把直线方程代入椭圆方程,可得,从而求出表示,再由可很快求得,以后就可得到点的坐标,求出面积.
试题解析:(1)由已知得.              1分
解得.又,所以椭圆G的方程为.     4分
(2)设直线l的方程为.
.  ①             6分
AB的坐标分别为AB中点为E
.                     8分
因为AB是等腰△的底边,
所以PEAB.所以PE的斜率,解得m=2.        10分
此时方程①为,解得
所以,所以|AB|=.
此时,点P(-3,2)到直线AB的距离
所以△的面积S=.                        12分
举一反三
已知点为椭圆的左焦点,点为椭圆上任意一点,点的坐标为,则取最大值时,点的坐标为           
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已知椭圆的短半轴长为,动点在直线为半焦距)上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程;
(3)设是椭圆的右焦点,过点的垂线与以为直径的圆交于点
求证:线段的长为定值,并求出这个定值.
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在平面直角坐标系中,已知点,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.
(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程
(2)已知是曲线上的两点,若曲线上存在点,满足为坐标原点),求实数的取值范围.
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如图,椭圆经过点,其左、右顶点分别是,左、右焦点分别是(异于)是椭圆上的动点,连接交直线两点,若成等比数列.

(1)求此椭圆的离心率;
(2)求证:以线段为直径的圆过点.
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已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点是两曲线的一个公共点,若,则等于(     )
A.B.C.D.

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