已知椭圆过点,且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于A、B两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.(1)求椭圆的方程;(2)求△的面积.
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已知椭圆过点,且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于A、B两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.(1)求椭圆的方程;(2)求△的面积.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
过点
,且离心率为
.斜率为
的直线
与椭圆
交于
A
、
B
两点,以
为底边作等腰三角形,顶点为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)求△
的面积.
答案
(1)
;(2)
.
解析
试题分析:(1)要求椭圆标准方程,就是要求得
,因此我们要寻找关于
的两个等式,本题中有离心率
,是一个等式,另一个是椭圆过点
,即
,再结合
可解得
,得到标准方程;(2)要求△
的面积,应该先确定
位置,也即确定直线
,我们可以设
的方程为
,条件
是以
为底边的等腰三角形怎么应用?这个条件用得较多的是其性质,三线合一,即取
的中点
,则有
,我们就用这个来求出参数
的值,方法是设
,
的中点为
,把直线方程代入椭圆方程,可得
,从而求出
用
表示,再由
可很快求得
,以后就可得到点
的坐标,求出面积.
试题解析:(1)由已知得
. 1分
解得
.又
,所以椭圆
G
的方程为
. 4分
(2)设直线
l
的方程为
.
由
得
. ① 6分
设
A
、
B
的坐标分别为
AB
中点为
E
,
则
. 8分
因为
AB
是等腰△
的底边,
所以
PE
⊥
AB
.所以
PE
的斜率
,解得
m
=2. 10分
此时方程①为
,解得
,
所以
,所以|
AB
|=
.
此时,点
P
(-3,2)到直线
AB
:
的距离
,
所以△
的面积
S
=
. 12分
举一反三
已知点
为椭圆
的左焦点,点
为椭圆
上任意一点,点
的坐标为
,则
取最大值时,点
的坐标为
.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的短半轴长为
,动点
在直线
(
为半焦距)上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以
为直径且被直线
截得的弦长为
的圆的方程;
(3)设
是椭圆的右焦点,过点
作
的垂线与以
为直径的圆交于点
,
求证:线段
的长为定值,并求出这个定值.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,已知点
和
,圆
是以
为圆心,半径为
的圆,点
是圆
上任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
所在的直线交于点
.
(1)当点
在圆上运动时,求点
的轨迹方程
;
(2)已知
,
是曲线
上的两点,若曲线
上存在点
,满足
(
为坐标原点),求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆
经过点
,其左、右顶点分别是
、
,左、右焦点分别是
、
,
(异于
、
)是椭圆上的动点,连接
交直线
于
、
两点,若
成等比数列.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)求证:以线段
为直径的圆过点
.
题型:不详
难度:
|
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已知离心率为
的双曲线和离心率为
的椭圆有相同的焦点
、
,
是两曲线的一个公共点,若
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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