如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(　　)

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如图,F₁,F₂是椭圆C₁:

+y²=1与双曲线C₂的公共焦点,A,B分别是C₁,C₂在第二、四象限的公共点.若四边形AF₁BF₂为矩形,则C₂的离心率是(　　)

A．

B．

C．

D．

答案

解析

由椭圆定义得,|AF₁|+|AF₂|=4,
|F₁F₂|=2

,
因为四边形AF₁BF₂为矩形,
所以|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²=12,
所以2|AF₁||AF₂|=(|AF₁|+|AF₂|)²-(|AF₁|²+|AF₂|²)=16-12=4,
所以(|AF₂|-|AF₁|)²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁||AF₂|=12-4=8,
所以|AF₂|-|AF₁|=2

,
因此对于双曲线有a=

,c=

,
所以C₂的离心率e=

.
故选D.

举一反三

已知椭圆C:

=1(a>b>0)的离心率为

.双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(　　)

A．+=1	B．+=1
C．+=1	D．+=1

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如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)

A．3

B．2

C．

D．

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已知椭圆C₁:

=1(a>b>0)与双曲线C₂:x²-

=1有公共的焦点,C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C₁恰好将线段AB三等分,则(　　)

A．a²=	B．a²=13
C．b²=	D．b²=2

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已知双曲线

=1(a>0,b>0)和椭圆

=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为　　　　.

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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C₁:

=1(a>b>0)的左焦点为F₁(-1,0),且点P(0,1)在C₁上.
(1)求椭圆C₁的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂:y²=4x相切,求直线l的方程.

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如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )