设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为　　　.

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设直线l:2x+y-2=0与椭圆x²+

=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为

的点P的个数为　　　.

答案

解析

【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.
由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=

,要使
△PAB的面积为

,即

·h=

,所以h=

.联立y=-2x+m与椭圆方程x²+

=1得8x²-4mx+m²-4=0,令Δ=0得m=±2

,即平移直线l到y=-2x±2

时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=

都大于

,所以一共有4个点符合要求.

举一反三

已知椭圆C:

=1(a>b>0)的一个顶点A(2,0),离心率为

,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程.
(2)当△AMN的面积为

时,求k的值.

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已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为F(4,0),长轴端点到较近焦点的距离为1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂)为椭圆上不同的两点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若x₁+x₂=8,在x轴上是否存在一点D,使|

|=|

|?若存在,求出D点的坐标;若不存在,说明理由.

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若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为(　　)

A．1

B．

C．2

D．2

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若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F₁,F₂,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形.若|PF₁|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e₁,e₂,则e₁·e₂的取值范围是(　　)

A．(0,+∞)	B．(,+∞)
C．(,+∞)	D．(,+∞)

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设P为椭圆

=1(a>b>0)上的任意一点,F₁为椭圆的一个焦点,则|PF₁|的取值范围为　　　　　.

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