试题分析:(Ⅰ) 由题意得 ,又,结合,可解得的值,从而得椭圆的标准方程.(Ⅱ)设,则,当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性易求两点的坐标,并判断直线与圆是否相切.当直线的不与轴垂直时,可设其方程为 ,与椭圆方程联立方程组消法得: , ,结合,可得与的关系,由此可以判断与该直线与圆的位置关系. 试题解析:解(Ⅰ)由已知得,由题意得 ,又, 2分 消去可得,,解得或(舍去),则, 所以椭圆的方程为. 4分 (Ⅱ)结论:直线与圆相切. 证明:由题意可知,直线不过坐标原点,设的坐标分别为 (ⅰ)当直线轴时,直线的方程为且 则 解得,故直线的方程为 , 因此,点到直线的距离为,又圆的圆心为, 半径 所以直线与圆相切 7分 (ⅱ)当直线不垂直于轴时, 设直线的方程为,联立直线和椭圆方程消去得; 得 , ,故, 即① 10分 又圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, ② 将①式带入②式得:, 所以 因此,直线与圆相切 13分 |