设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与直线相交于点D,与椭圆相交于两点.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
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设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与直线相交于点D,与椭圆相交于两点.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆中心在坐标原点,
是它的两个顶点,直线
与直线
相交于点D,与椭圆相交于
两点.
(Ⅰ)若
,求
的值;
(Ⅱ)求四边形
面积的最大值.
答案
(Ⅰ)
或
;(Ⅱ)
.
解析
试题分析:(Ⅰ)由题意易得椭圆方程,直线
的方程,再设
,
满足方程
,把
用坐标表示出来得
,又点
在直线
上,则
,根据以上关系式可解得
的值;(Ⅱ)先求点E、F到AB的距离,再求
,则可得面积
,然后利用不等式求面积的最大值.
试题解析:(I)依题意,得椭圆的方程为
, 1分
直线
的方程分别为
, 2分
如图设
,其中
,
满足方程
且故
,
由
知
,得
, 4分
由点
在直线
上知,
得
, 5分
,化简得
解得
或
. 7分
(II)根据点到直线的距离公式和①式知,点E、F到AB的距离分别为
, 8分
, 9分
又
,所以四边形AEBF的面积为
, 11分
当
即当
时,上式取等号,所以S的最大值为
13分
举一反三
已知椭圆C的中心在原点,焦点F在
轴上,离心率
,点
在椭圆C上.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)若斜率为
的直线
交椭圆
与
、
两点,且
、
、
成等差数列,点M(1,1),求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线方程
的离心率为
,其实轴与虚轴的四个顶点和椭圆
的四个顶点重合,椭圆G的离心率为
,一定有( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
的焦点为F
2
,点F
1
与F
2
关于坐标原点对称,以F
1
,F
2
为焦点的椭圆C过点
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设点
,过点F
2
作直线
与椭圆C交于A,B两点,且
,若
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的离心率为
,直线
与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
(1)求椭圆
的方程;
(2)如图,
、
、
是椭圆
的顶点,
是椭圆
上除顶点外的任意点,直线
交
轴于点
,直线
交
于点
,设
的斜率为
,
的斜率为
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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在椭圆
中,
分别是其左右焦点,若椭圆上存在一点P使得
,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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