已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否
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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)C上是否
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为
.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有
=
+
成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)P(
,±
),
x±y-
=0.
解析
试题分析:(Ⅰ) 先利用点到直线的距离公式求
,再利用离心率求
,最后利用参数的关系求
;(Ⅱ)设点利用方程组消元后得根与系数关系,然后代入题中条件化简可求.
试题解析:(Ⅰ) 设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,
∴O到l的距离为
,
由已知,得
=
,∴c=1.
由e=
=
,得a=
,b=
=
. 4分
(Ⅱ)假设C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有
=
+
成立,
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则P(x
1
+x
2
,y
1
+y
2
).
由(Ⅰ),知C的方程为
+
=1.
由题意知,l的斜率一定不为0,故不妨设l:x=ty+1.
由
,消去x并化简整理,得(2t
2
+3)y
2
+4ty-4=0.
由韦达定理,得y
1
+y
2
=-
,
∴x
1
+x
2
=ty
1
+1+ty
2
+1=t(y
1
+y
2
)+2=-
+2=
,
∴P(
,-
).
∵点P在C上,∴
+
=1,
化简整理,得4t
4
+4t
2
-3=0,即(2t
2
+3)(2t
2
-1)=0,解得t
2
=
.
当t=
时,P(
,-
),l的方程为
x-y-
=0;
当t=-
时,P(
,
),l的方程为
x+y-
=0.
故C上存在点P(
,±
),使
=
+
成立,此时l的方程为
x±y-
=0. 13分
举一反三
设e是椭圆
=1的离心率,且e∈(
,1),则实数k的取值范围是 ( )
A.(0,3)
B.(3,
)
C.(0,3)∪(
,+∞)
D.(0,2)
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的焦距为4,且与椭圆x
2
+
=1有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同的两点A、B.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知
、
分别为椭圆
的两个焦点,点
为其短轴的一个端点,若
为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切,直线
与椭圆C相交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求
的取值范围;
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的长轴长为4,且过点
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
、
、
是椭圆上的三点,若
,点
为线段
的中点,
、
两点的坐标分别为
、
,求证:
.
题型:不详
难度:
|
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