已知、是椭圆的左、右焦点,且离心率,点为椭圆上的一个动点,的内切圆面积的最大值为.(1) 求椭圆的方程;(2) 若是椭圆上不重合的四个点,满足向量与共线,与共线
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已知、是椭圆的左、右焦点,且离心率,点为椭圆上的一个动点,的内切圆面积的最大值为.(1) 求椭圆的方程;(2) 若是椭圆上不重合的四个点,满足向量与共线,与共线
题型:不详
难度:
来源:
已知
、
是椭圆
的左、右焦点,且离心率
,点
为椭圆上的一个动点,
的内切圆面积的最大值为
.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若
是椭圆上不重合的四个点,满足向量
与
共线,
与
共
线,且
,求
的取值范围.
答案
(1)
;(2)
解析
试题分析:本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查,具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识,提示考生对圆锥曲线的综合题加以重视,本题主要考查考生的推理论证能力,运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想.(1)利用方程思想和几何性质,得到含有
的两个等量关系,进而利用待定系数法求解椭圆方程;(2)通过直线与方程联立,借助韦达定理和弦长公式将
进行表示为含有
的函数关系式,利用换元法和二次函数求值域的思路寻求范围.
试题解析:(1)由几何性质可知:当
内切圆面积取最大值时,
即
取最大值,且
.
由
得
又
为定值,
,
综上得
;
又由
,可得
,即
,
经计算得
,
,
,
故椭圆方程为
. (5分)
(2) ①当直线
与
中有一条直线垂直于
轴时,
.
②当直线
斜率存在但不为0时,设
的方程为:
,由
消去
可得
,代入弦长公式得:
,
同理由
消去
可得
,
代入弦长公式得:
,
所以
令
,则
,所以
,
由①②可知,
的取值范围是
. (12分)
举一反三
如图,在平面直角坐标系
中,椭圆
的右焦点为
,离心率为
.
分别过
,
的两条弦
,
相交于点
(异于
,
两点),且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线
,
的斜率之和为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的离心率为
,直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设椭圆
的左焦点为
,右焦点
,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直
于点
,
线段
垂直平分线交
于点
,求点
的轨迹
的方程;
(Ⅲ)设
与
轴交于点
,不同的两点
在
上,且满足
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的离心率为
,左焦点为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)若直线
与曲线
交于不同的
、
两点,且线段
的中点
在圆
上,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,A,B是椭圆
的两个顶点,
,直线AB的斜率为
.求椭圆的方程;(2)设直线
平行于AB,与x,y轴分别交于点M、N,与椭圆相交于C、D,
证明:
的面积等于
的面积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为
的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆
的方程;
(II)直线
与椭圆
交于
,
两点,且线段
的垂直平分线经过点
,求
(
为原点)面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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