已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直
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已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
:
的离心率为
,直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设椭圆
的左焦点为
,右焦点
,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直
于点
,
线段
垂直平分线交
于点
,求点
的轨迹
的方程;
(Ⅲ)设
与
轴交于点
,不同的两点
在
上,且满足
,求
的取值范围.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解析
试题分析:(Ⅰ)利用离心率和直线与圆相切得到两个等量关系,确定椭圆方程;(Ⅱ)利用定义法求解曲线方程;(Ⅲ)采用坐标法,将向量问题坐标化,进行有效的整理为
,然后借助均值不等式进行求解范围.
试题解析:(Ⅰ)∵
∵直线
相切,
∴
∴
3分
∵椭圆
的方程是
6分
(Ⅱ)∵
,
∴动点
到定直线
:
的距离等于它到定点
的距离,
∴动点
的轨迹是
为
准线,
为焦点的抛物线 6分
∴点
的轨迹
的方程为
9分
(Ⅲ)
,设
、
∴
∵
,∴
∵
,化简得
11分
∴
当且仅当
即
时等号成立 13分
∵
,又
∴当
即
时,
,故
的取值范围是
14分
举一反三
已知椭圆
:
的离心率为
,左焦点为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)若直线
与曲线
交于不同的
、
两点,且线段
的中点
在圆
上,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,A,B是椭圆
的两个顶点,
,直线AB的斜率为
.求椭圆的方程;(2)设直线
平行于AB,与x,y轴分别交于点M、N,与椭圆相交于C、D,
证明:
的面积等于
的面积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为
的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆
的方程;
(II)直线
与椭圆
交于
,
两点,且线段
的垂直平分线经过点
,求
(
为原点)面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为
的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线y =kx交椭圆C于A,B两点,在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的两个焦点分别为
,且
,点
在椭圆上,且
的周长为6.
(I)求椭圆
的方程;
(II)若点
的坐标为
,不过原点
的直线与椭圆
相交于
两点,设线段
的中点为
,点
到直线的距离为
,且
三点共线.求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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