已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,且过点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.

题型：不详难度：来源：

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,且过点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点，若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.

答案

(1) . (2) .

解析

试题分析：(1)由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴.   3分
又椭圆的焦点在轴上, ∴椭圆的标准方程为.      5分
(2)设线段的中点为 ,点的坐标是，
由，得，                      9分
由点在椭圆上,得,             11分
∴线段中点的轨迹方程是.     12分
点评：若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．