(本题满分14分)已知椭圆过点,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)为椭圆的左右顶点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线于两点. 证明:以线段为直径的圆恒
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(本题满分14分)已知椭圆过点,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)为椭圆的左右顶点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线于两点. 证明:以线段为直径的圆恒
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分14分)
已知椭圆
过点
,且离心率为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)
为椭圆
的左右顶点,点
是椭圆
上异于
的动点,直线
分别交直线
于
两点.
证明:以线段
为直径的圆恒过
轴上的定点.
答案
(1)
; (2)
解析
试题分析:(1)由题意可知,
, …………1分 而
,……………2分
且
. …………3分 解得
,……………4分
所以,椭圆的方程为
. ……………5分
(2)由题可得
.设
, ……………6分
直线
的方程为
, ……………7分
令
,则
,即
; ……………8分
直线
的方程为
, ……………9分
令
,则
,即
; ……………10分
证法1:设点
在以线段
为直径的圆上,则
,
即
, …………11分
,而
,即
,
,
或
. ……………13分
故以线段
为直径的圆必过
轴上的定点
、
. ……………14分
证法2:以线段
为直径的圆为
即
………11分
令
,得
, ……………12分
而
,即
,
,
或
……………13分
故以线段
为直径的圆必过
轴上的定点
、
. ……………14分
证法3:令
,则
,令
,得
,同理得
.
∴以
为直径的圆为
,令
解得
∴圆过
……………11分
由前,对任意点
,可得
,
∴
∴
在以
为直径的圆上.
同理,可知
也在
为直径的圆上. ……………13分
∴故以线段
为直径的圆必过
轴上的定点
、
. …………………14分
点评:此题的第二问给出了三种方法来解答,我们要熟练掌握每一种方法。这是作圆锥曲线有关问题的基础。属于中档题。
举一反三
设
是椭圆
的两个焦点,点M在椭圆上,若△
是直角三角形,则△
的面积等于( )
A.48/5
B.36/5
C.16
D.48/5或16
题型:不详
难度:
|
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(满分10分)(Ⅰ) 设椭圆方程
的左、右顶点分别为
,点M是椭圆上异于
的任意一点,设直线
的斜率分别为
,求证
为定值并求出此定值;
(Ⅱ)设椭圆方程
的左、右顶点分别为
,点M是椭圆上异于
的任意一点,设直线
的斜率分别为
,利用(Ⅰ)的结论直接写出
的值。(不必写出推理过程)
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的焦点坐标是( )
A.(0,
)、(0,
)
B. (0,-1)、(0,1)
C.(-1,0)、(1,0)
D.(
,0)、(
,0)
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的离心率为
,且过点(
),
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线
与椭圆交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ面积的最大值及此时直线的方程.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的两焦点是
,则其焦距长为
,若点
是椭圆上一点,且
是直角三角形,则
的大小是
.
题型:不详
难度:
|
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