试题分析:(Ⅰ)椭圆的离心率为, 抛物线的焦点为. 设椭圆的方程为,由题意,得: ,解得, ∴椭圆的标准方程为 . ………………………………4分 (Ⅱ)解法一:椭圆与椭圆是相似椭圆. ………………………………5分 联立和的方程,,消去,得, ……6分 设的横坐标分别为,则. 设椭圆的方程为, …………………………………7分 联立方程组,消去,得, 设的横坐标分别为,则. ∵弦的中点与弦的中点重合,∴,, ∵,∴化简得, ……………………………10分 求得椭圆的离心率, ………………………12分 ∴椭圆与椭圆是相似椭圆. 解法二:(参照解法1评分) 设椭圆的方程为,. ∵在椭圆上,∴且,两式相减并恒等变形得. 由在椭圆上,仿前述方法可得. ∵弦的中点与弦的中点重合, ∴,求得椭圆的离心率, 即椭圆与椭圆是相似椭圆. 点评:综合题,判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆,主要是要把握好“如果两个椭圆的离心率相等,那么就称这两个椭圆相似”这一定义,“点差法”是常用方法. |