在平面直角坐标系中,椭圆为(1)若一直线与椭圆交于两不同点,且线段恰以点为中点,求直线的方程;(2)若过点的直线(非轴)与椭圆相交于两个不同点试问在轴上是否存在
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在平面直角坐标系中,椭圆为(1)若一直线与椭圆交于两不同点,且线段恰以点为中点,求直线的方程;(2)若过点的直线(非轴)与椭圆相交于两个不同点试问在轴上是否存在
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系
中,椭圆
为
(1)若一直线与椭圆
交于两不同点
,且线段
恰以点
为中点,求直线
的方程;
(2)若过点
的直线
(非
轴)与椭圆
相交于两个不同点
试问在
轴上是否存在定点
,使
恒为定值
?若存在,求出点
的坐标及实数
的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
;(2)在
轴上存在定点
,使
恒为定值
。
解析
本试题主要是考查了直线与圆的位置关系综合运用。
(1)
点
在椭圆内部,
直线
与椭圆必有公共点
再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式,
(2)假定存在定点
,使
恒为定值
由于直线
不可能为
轴
于是可设直线
的方程为
且设点
将
代入
得到一元二次方程,进而利用向量的关系得到参数的值。
解:(1)
点
在椭圆内部,
直线
与椭圆必有公共点
设点
,由已知
,则有
两式相减,得
而
直线
的斜率为
直线
的方程为
(2) 假定存在定点
,使
恒为定值
由于直线
不可能为
轴
于是可设直线
的方程为
且设点
将
代入
得
.
显然
,
则
若存在定点
使
为定值(
与
值无关),则必有
在
轴上存在定点
,使
恒为定值
举一反三
(I) 已知抛物线
过焦点
的动直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点, 求证:
为定值;
(Ⅱ)由 (Ⅰ) 可知: 过抛物线的焦点
的动直线 l 交抛物线于
两点, 存在定点
, 使得
为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.
题型:不详
难度:
|
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如果方程
表示焦点在
轴上的椭圆,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
或
D.
或
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分) 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在坐标轴上,且经过两点
;
(2)经过点(2,-3)且与椭圆
具有共同的焦点.
题型:不详
难度:
|
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,焦点到相应准线的
距离也为
,则该椭圆的离心率为
题型:不详
难度:
|
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以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴长的最小值为
题型:不详
难度:
|
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