(1) 依题意可得,. 设双曲线的方程为, 因为双曲线的离心率为,所以,即. 所以双曲线的方程为. (2)证法1:设点、(,,),直线的斜率为(), 则直线的方程为, 联立方程组 整理,得, 解得或.所以. 同理可得,. 所以. 证法2:设点、(,,), 则,. 因为,所以,即. 因为点和点分别在双曲线和椭圆上,所以,. 即,. 所以,即. 所以. 证法3:设点,直线的方程为, 联立方程组 整理,得, 解得或. 将代入,得,即. 所以. (3)解:设点、(,,), 则,. 因为,所以,即. 因为点在双曲线上,则,所以,即. 因为点是双曲线在第一象限内的一点,所以. 因为,, 所以. 由(2)知,,即. 设,则, . 设,则, 当时,,当时,, 所以函数在上单调递增,在上单调递减. 因为,, 所以当,即时,. 当,即时,. 所以的取值范围为. |